Anmerkungen zur Berechnung der Wellenenergie

1. Formeln für die Wellenenergie

Grundlage aller Berechnungen sind 1. Annahmen über Aufenthaltsorte und Betriebsweisen des Schiffes (Szenarien) und 2. Informationen über die Wellenaktivität in den betreffenden Gebieten (Wellenspektrum).

  Bei den Szenarien handelt es sich um Erfahrungswerte, um Gewohnheiten von Betreibern größerer Jachten, die natürlich nicht zwingend und allgemein verbindlich sind. Sie werden hier aber so datailliert dargestellt, dass sie zumindest für jedermann nachvollziehbar sind und ggf. korrigiert werden können, falls sie unplausibel erscheinen.

Die Wellenaktivität in verschiedenen Meeresregionen ist durch die Daten von
Messbojen bekannt, die seit vielen
Jahrzehnten in allen Meeren ständig die Wellenhöhe und die Wellenperiode messen; sowohl die jeweils aktuellen Werte, als auch die Jahresmittel werden von den nationalen hydrographischen Instituten (z.B. vom holländischen) im Internet publiziert. Die mittlere Wellenhöhe wird dabei als "signifikante Wellenhöhe" Hs ausgegeben, für die es verschiedene Definitionen gibt; hier wird die von Graw 1995, S. 5 - 8 verwendet: HS = √2 . H.  Die Periode T ist definiert als die Zeitdauer vom Ankommen eines Wellenberges an einem bestimmten Punkt bis zum Ankommen des nächsten Wellenberges. Aus den genannten beiden Parametern kann man die Wellenleistung auch "Energiefluss" genannt -  berechnen.

Dafür wird allgemein die Formel

 P ~ 0,5 * T * Hs2
 
verwendet (z.B. engl. Wikipedia, Stichwort "wave power"), wobei P = Leistung (engl. "power") pro 1 m Wellenwalze in kW, T = Periode der Wellen in sec. und Hs= signifikante Wellenhöhe in Meter.  In die Konstante 0,5 geht u.a. die Dichte des Meerwassers (1,025 kg/Liter), die
Erdbeschleunigung (~ 9,81) und die Kreiszahl π (~ 3,14) ein. Irritierend an der Formel ist die Tatsache, dass die Energie von Wellen gleicher Höhe Hs offensichtlich um so größer ist, je länger die Periode ist. Das heißt aber, dass ein stationäres Wellenkraftwerk (oder ein vor Anker liegendes Schiff mit mobilem Wellenkraftwerk) umso mehr Energie umsetzt, je seltener eine Welle ankommt.

Deshalb habe ich mich nach anderen mathematischen Modellen für die Wellenenergie umgesehen und fand bei PELTE (2010)* die Formel
P = 1,84 * 104 d3/√λ  (kWh * a-1 * m-1). Darin ist d = Wellenhöhe in Meter und 
λ = Wellenlänge in Meter (Abstand zwischen 2 aufeinanderfolgenden Wellenbergen). a-1  heißt "pro Jahr"  und m-1 steht für "pro Meter Wellenwalze".

Um einen Vergleich mit der links stehenden Formel zu ermöglichen, habe ich zunächst von einem Jahr (8760 Std.) auf 1 Std. umgerechnet sowie d durch H ersetzt und erhalte
P ~ 2,1 H3/√λ  (kW* m-1).
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)* PELTE, Dietrich: Die Zukunft unserer Energieversorgung. Wiesbaden 2010, S. 198 ff
 Zum besseren Verständnis der Materie scheinen mir nun weder die Parameter"Periode T", noch die "Wellenlänge λ" besonders gut geeignet zu sein. Dass die Energie einer Welle von deren Höhe abhängt, leuchtet sofort ein; es liegt nahe, als weiteren Parameter die Geschwindigkeit c ("celerity") einer Welle in Betracht zu ziehen, mit der sie auf einen festen Punkt aufprallt.

Die Geschwindigkeit c irgendeiner Welle - also auch der Meereswellen - ist nach der linearen Wellentheorie c = L/T. Nach der gleichen Theorie gilt ferner

T = λ / c

c = 1,25√λ,

T  = 0,64 c

Auf dieser Basis können wir nun die beiden fraglichen Formeln umrechnen, um sie besser vergleichen zu können:

allgemein verwendete Formel: P = 0,32 c H2
Formel v. PELTE: P = 0,44 * HS3/c,
beides in kW . m-1

Das Ergebnis besagt also, dass nach Pelte die Energie einer Welle bei gleichbleibender Wellenhöhe umso kleiner wird, je schneller sie sich vorwärts bewegt - ein absurdes Resultat! Dagegen leuchtet die erstgenannte Formel sofort ein - hier ist die Energie proportional zur Geschwindigkeit.

Die Formel von Pelte ist auch aus anderen Gründen wenig plausibel:

1. Zeigt die Alltagserfahrung, dass kleinere Wellen eine kleinere Wellenlänge aufweisen; wird eine Wasserfläche durch einen Windhauch nur "gekräuselt", treten Wellenlängen von nur wenigen Zentimetern auf. Die großen Wellen im Meer können dagegen Längen von 100 m und mehr erreichen. Deshalb erscheint die Annahme gerechtfertigt, dass die Wellenenergie gegen Null geht, wenn die Wellenlänge sehr klein wird. Aus der Formel von Pelte folgt das genaue Gegenteil!

2. In der allgemein verwendeten Formel repräsentiert die Größe H2  zusammen mit einigen Bestandteilen der Konstanten 0,32 den Querschnitt einer Wellenwalze, also eine Fläche. Die Energie einer ganzen
Wellenwalze erhält man, indem man diesen Querschnitt mit der Länge der Wellenwalze multipliziert. Dies ist dann das Volumen der Wellenwalze - zusammen mit anderen Bestandteilen der Konstanten 0,32 deren Masse. Dass diese für die Energie einer Welle relevant ist, leuchtet sofort ein.

Führen wir die analoge Betrachtung mit der Formel von Pelte durch, müssen wir ein durch  H3 definierte Volumen mit der Länge der Wellenwalze multiplizieren, also in die 4. Dimension gehen, was keinen anschaulichen Sinn ergibt.

Jetzt kommen wir noch einmal auf das eingangs beschriebene Paradoxon zurück, das sich aus der allgemein verwendeten Formel in der ursprünglichen Fassung ergibt: Wir betrachten zwei Wellenserien mit gleicher Wellenhöhe von 2 m, aber unterschiedlicher Periode T. In Serie A
haben die Wellen eine Periode von 10 sec., in Serie B soll die Periode 20 sec. dauern. Ein stationäres Wellenkraftwerk muss also im 2. Fall doppelt so lange "auf die jeweils nächste Welle warten", weshalb man annehmen sollte, dass die Energieausbeute entsprechend kleiner ausfällt als bei der
Wellenserie mit der kürzeren Periode. Die allgemein verwendete Formel behauptet aber das Gegenteil: Mit  P ~ 0,5 * T * H2  ergibt für die Wellenserie A ein Wert von 20 kW, für die Serie B ein Wert von 40 kW. Die Geschwindigkeit ist allerdings bei der Wellenserie A gleich c = Te / 0,64 = 15,6 m/s, bei der Wellenserie B ist c =  31,5 m/s, also doppelt so schnell. Das erklärt den höheren Energie-Inhalt der Wellenserie B.

Die Formel zerlegt die Wellenenergie in zwei Teile; H2 repräsentiert (zusammen mit der Länge der Wellenwalze) die Masse der Welle und c die Geschwindigkeit, mit der sich diese Masse bewegt. Diese Bewegung ist allerdings kein Transport der Wasserpartikel über eine größere Strecke wie bei einer Meereströmung, sondern eine sich fortpflanzende kreisförmige Bewegung innerhalb der Wellenwalze.

2. Das Problem der Fangweite ("capture width")

Bei der Berechnung der von einem Wellenkraftwerk umgesetzten Energie geht
man davon aus, dass es aus den herankommenden Wellenfronten einen gewissen Anteil herausschneidet  und mit einem bestimmten Wirkungsgrad in Nutzenergie verwandelt. Konventionell hat man hier die Frontbreite des Wellenkraftwerks eingesetzt - analog zum Vorgehen bei Windturbinen, bei denen man die vom Wind beaufschlagte Fläche des Rotors verwendet. In der Praxis hat es sich jedoch gezeigt, dass mit diesem Verfahren die gewandelte Energie unterschätzt wird; offenbar wird zusätzlich Energie aus den Wellenanteilen seitlich der Frontfläche des Wellenwandlers umgesetzt - kurz gesagt: Die genutzte Breite des herankommenden Wellenfeldes ist größer als die Frontfläche des Wellenkraftwerks.  Schon seit den 1970iger Jahren wurden zur quantitativen Bestimmung dieser "Fangweite" ("capture width") mathematische Modelle entwickelt, die jedoch bis heute umstritten sind. Als Alternative verwenden viele Fachleute1 den Wirkungsgrad,  der sich ergibt, wenn man die tatsächlich in einem bestimmte Zeitraum produzierte Nutzenergie dividiert durch die Energie der im gleichen Zeitraum
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1z.B. Graw 1995 , S. 7-7
ankommenden Wellenfronten in der Breite des Wellenkraftwerks . Dieses Vorgehen hat den Nachteil, dass sich bei großen Fangweiten theoretisch Wirkungsgrade größer als 1 ergeben können, was nach der Definition des Wirkungsgrades eigentlich ausgeschlossen ist. Andererseits ist dieses Vorgehen leicht zu praktizieren, sofern empirische Daten über die gewandelte Energie vorliegen. Außerdem sind in der Praxis bisher die "verbotenen" Wirkungsgrade größer als 1 nicht aufgetreten. Auch bei der 2. Generation P2 des "Pelamis"-Wellenkraftwerks wurde offenbar dieser "unechte" Wirkungsgrad = 0,7 ermittelt1.

3. Die Anwendung auf den Öko-Trimaran

Das Pelamis-Kraftwerk funktioniert nach ähnlichen Prinzipen wie das Wellenkraftwerk des Öko-Trimarans. Beides sind sog. "Attenuatoren" oder "line absorbers". Beide verwenden den Wellenhub als Kraftquelle und beides sind Offshore-Anlagen. Deshalb erschien es uns gerechtfertigt, für den
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1  Yemm & Pizer 2011, Fig. 11
Öko-Trimaran den gleichen Wirkungsgrad von 0,7 anzunehmen.

Ein wichtiger Unterschied besteht allerdings darin, dass die Schwimmer beim Öko-Trimaran nebeneinander liegen, während sie bei der Pelamis-Maschine wie die Glieder einer Kette hintereinander angeordnet sind. Dadurch wird aber den hinteren Kettengliedern ein Teil der Energie durch die vorderen Kettenglieder weggenommen, denn in dem Maß, wie den Wellen Energie entzogen wird, werden sie vernichtet. Zwar kann man davon ausgehen, dass die auf diese Weise entstehenden Wellenlücken von der Seite her teilweise wieder aufgefüllt werden, jedoch werden die hinteren Schwimmer nie so viel Energie umsetzen können wie die vorderen. Umso mehr erscheint es gerechtfertigt, für den Öko-Trimaran den Pelamis-Wirkungsgrad von 0,7 als Mindestwert zu übernehmen.


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